Definições da Teoria de Anéis

Esta é uma lista de algumas das definições que nos deparamos ao estudar Teoria de Anéis, um ramo da Álgebra Abstrata.

Lista das definições

Operação
Anel
Domínio de integridade
Elemento invertível de um anel
Elementos associados de anéis
Elemento irredutível de um anel
Outra definição de elemento irredutível de um anel
Homomorfismo de anéis
Isomorfismo de anéis

Operação

Seja $A$ um conjunto não vazio. Uma operação $*$ em $A$ é uma função cujo o domínio é $A^n$ e o contradominio é $A$ .

Se $n = 2$ , então a operação é binária.

A partir daqui, $*(a,b)$ será denotado por $a * b$ .

Anel

Sejam $A$ um conjunto não vazio e $(+), (\cdot)$ duas operações binárias em $A$ , chamadas de adição e multiplicação. A terna $(A, +, \cdot)$ é um anel se as operações tiverem as seguintes propriedades:

$\forall a, b, c \in A$ , $(a + b) + c = a + (b + c)$ . (associatividade da adição)

$\forall a, b \in A$ , $a + b = b + a$ . (comutatividade da adição)

$\exists 0 \in A$ , tal que $\forall a \in A$ , $a + 0 = 0 + a = a$ . (elemento neutro da adição)

$\forall a \in A$ , $\exists - a \in A$ tal que $a + (-a) = 0$ . (inverso da adição)

$\forall a, b, c \in A$ , $a \cdot (b + c) = a \cdot b + a \cdot c$ . (distributividade)

Se a multiplicação também for comutativa, dizemos que o anel é comutativo.

E se existir um elemento neutro da multiplicação, chamamos ele de unidade, denotamos ele de $1$ e dizemos que o anel é um anel com unidade.

Quando não houver risco de ambiguidade, denotaremos $(A, +, \cdot)$ simplesmente por $A$ .

Domínio de integridade

Seja $(D, +, \cdot)$ um anel comutativo com unidade. $(D, +, \cdot)$ é um domínio de integridade se

$\forall a, b \in D$ , $a \cdot b = 0 \imp a = 0$ ou $b = 0$ .

Elemento invertível de um anel

Sejam $A$ um anel com unidade e $a$ um elemento não nulo de $A$ . $a$ é invertível se $\exists u \in A$ tal que $a \cdot u = u \cdot a = 1$ .

Elementos associados de anéis

Sejam $A$ um anel e $a, b$ elementos não nulos de $A$ . $a$ e $b$ são associados em $A$ se $\exists u \in A$ , onde $u$ invertível e $a = u \cdot b$ .

Elemento irredutível de um anel

Seja $a$ um elemento não nulo e não invertível de um anel $A$ . $a$ é irredutível se

$\forall b, c \in A$ , $a = bc \imp b$ ou $c$ é invertível em $A$ .

Outra definição de elemento irredutível de um anel

Seja $a$ um elemento não nulo e não invertível de um anel $A$ . $a$ é irredutível se todo divisor de $a$ é invertível ou associado de $a$ .

Pode-se mostrar que em domínios de integridade, essas duas definições de elemento irredutível são equivalentes

Homomorfismo de anéis

Sejam $(A, +, \cdot)$ e $(B, \oplus, \odot)$ anéis. Uma função $f: A \longrightarrow B$ é um homomorfismo se $\forall a, b \in A$

$f(a + b) = f(a) \oplus f(b)$

$f(a \cdot b) = f(a) \odot f(b)$ .

Observação: um homomorfismo de anéis também é um homomorfismo de domínios de integridade, caso o anel seja um domínio.

Isomorfismo de anéis

Seja $f: A \longrightarrow B$ um homomorfismo. $f$ é um isomorfismo se ela for bijetora.