No semestre passado eu fiz um curso chamado Teoria de Galois na faculdade, e uma das muitas coisas que meu professor fez foi provar que quase todo isomorfismo de domínios de integridade preserva irredutibilidade.
Nesse post eu re-provarei isso e mais dois lemas que precisaremos para essa empreitada.
Sejam 
e 
domínios de integridade, com suas unidades sendo respectivamente, 
e 
, e seja 
um isomorfismo.
Prova de que isomorfismos de domínios levam unidade na unidade
A primeira coisa que provaremos é:
ou 
, 
.
(onde 
é o neutro da adição de 
)
Prova:
Temos que 
, pela definição de unidade. Daí, somando o simétrico de 
dos dois lados da equação, teremos que 
. Como 
é um isomorfismo, pela definição de isomorfismo temos que 
. Logo, é verdade que: 
. Pela distributividade de , podemos colocar o 
em evidência, obtendo 
. E como não possui divisores de zero, temos que 
ou 
.
Se 
então 
.
Se , convido você a mostrar que é a função constante zero. Isto é: , . 
Prova de que isomorfismos de domínios preservam invertibilidade
O que vamos provar agora é:
Se 
é invertível então 
é invertível.
(assumindo que não é a função constante zero)
Prova:
Suponha que 
é invertível. Então 
tal que 
. Aplicando a dos dois lados da equação, temos que 
. Como não é a função constante zero, podemos concluir pelo teorema que acabamos de provar que . Logo, 
. Como é um homomorfismo, temos então que 
. Logo, 
é invertível, pela definição de elemento invertível.
Prova de que isomorfismos de domínios preservam irredutibilidade
Finalmente, agora provaremos que:
Se é irredutivel então é irredutivel.
(assumindo que não é a função constante zero)
Prova:
Suponha que seja irredutível e que 
tal que 
. Então, pela definição de elemento irredútivel, temos que 
ou 
é invertível em 
. Agora, seja . Suponha que 
tal que 
. Devemos provar que 
ou 
é invertível em . Como é sobrejetora (pela definição de isomorfismo), temos que tal que 
e 
. Daí, temos que 
. Como é um homomorfismo, teremos então que 
. Agora, como é injetora (pela definição de isomorfismo), temos que . Mas como 
é irredutivel por hipótese, temos que é invertível ou é invertível.
Se é invertível então, pelo teorema que provamos acima, 
também é. Se é invertível então, pelo teorema que provamos acima, 
também é.
Logo, ou é invertível. E portanto, é irredutível.
Comentários finais
Informações interessantes
Aparentemente, a única coisa que exigiu estarmos em um domínio e não em um anel comutativo com unidade é que num anel, não é necessariamente verdade. Maaas, creio que a definição de elemento irredutível que eu usei provavelmente também exige estarmos num domínio.
Digo isso, pois, durante o curso de Teoria de Galois, meu professor descobriu que as duas definições mais comuns de elemento irredutível só são equivalentes em um domínio de integridade. Ele descobriu isso quando nos mandou tentar encontrar um elemento primo que não é irredutível.
Aliás, tanto encontrar um elemento primo que não é irredutível quanto provar que isomorfismos preservam irredutibilidade foram questões que cairam nas avaliações do curso. A título de curiosidade, veja minha segunda avaliação:
(na verdade, na avaliação tivemos que provar que um isomorfismo específico preserva irredutibilidade, mas como a prova do post vale para um isomorfismo qualquer, então vale para esse específico também)
Disclaimers
Esta é primeira vez que escrevo sobre isomorfismos aqui no blog. O motivo disso é que – apesar de eu ouvir essa palavra diariamente em minhas aulas – eu ainda não entendi direito este conceito.
Mas como isso é um diário de estudos e não um artigo científico, sou livre para escrever sobre coisas que não entendo. Meu objetivo nesse blog é apenas documentar a jornada de um estudante de matemática tentando aprender matemática.
Além disso, devo dizer que eu não sei o que é uma prova, mas usei essa palavra no post porque creio que os matemáticos concordariam que o que fizemos foram de fato provas.
Por fim, quero pedir para você que chegou até aqui que não desista de mim, mesmo que o blog pareça abandonado num futuro próximo. Isso acontecerá porque em breve terei que dedicar todo o meu tempo para passar no próximo semestre da faculdade, então estes podem ser meus últimos posts em uns bons meses. O bom é que farei Cálculo 3, Cálculo 4 e Variáveis Complexas no próximo semestre, então talvez surja algumas ideias para posts enquanto isso.
Muuuito obrigado mesmo pela sua atenção! :~]
Referências
Introdução à Álgebra – Adilson Gonçalves
Curso de Álgebra, Volume 1 – Abramo Hefez