História das equações diferenciais

Desde o semestre passado eu venho tentando escrever pelo menos um post sobre algo relacionado a cada matéria que estou fazendo na faculdade.

Como atualmente estou fazendo Cálculo 4, eu precisava então fazer um post sobre equações diferenciais. Pensei em várias coisas, mas acabei ficando com a mais fácil e divertida, que é fazer um resumo da história das equações diferenciais.

Como estou conhecendo o tema pela primeira vez, não sei muito sobre o assunto, então optei por resumir uma seção do livro-texto do curso, que se propôs a fazer o mesmo que eu vou fazer neste post.

O livro em questão é o livro do Boyce (9ª edição), e a seção é a 1.4.

Eu nunca vou atualizar esse post, então pode ser que haja alguma informação errada (o objetivo é mais registrar meu primeiro contato com essa área da matemática).

Assim como no meu texto História da Lógica, separarei a história pelos pensadores da área.

Isaac Newton (1642 – 1727)

O estudo das equações diferenciais começou depois que Newton e Leibniz “inventaram” o cálculo. Segundo o Boyce, Newton atuou pouco na área de equações diferenciais. No entanto, ele fez coisas como classificar algumas equações diferenciais de primeira ordem específicas e desenvolver um método para resolver uma delas usando séries infinitas.

Gottfried Leibniz (1646 – 1716)

Leibniz, diferentemente de Newton, contribuiu bastante para o estudo das equações diferenciais.

Em 1691 ele descobriu o método de separação de varíaveis para resolver as EDO separáveis de primeira ordem.

Em 1694 Leibniz criou o procedimento para resolver qualquer EDO linear de primeira ordem: o método dos fatores integrantes. Esse método usa a regra do produto do cálculo diferencial (que também foi descoberta por Leibniz) para resolver as EDOs lineares.

Note que Leibniz usou um conhecimento que ele deduziu (a regra do produto) para deduzir mais conhecimento (o método dos fatores integrantes). Esse cara era tão foda que a minha P1 de Cálculo 4 foi praticamente só usar essas duas técnicas criadas por ele.

Jakob Bernoulli (1654 – 1705) e Johann Bernoulli (1667 – 1748)

Jakob e Johann eram irmãos e, segundo o Boyce, fizeram muito para o desenvolvimento de métodos para resolver equações diferenciais e ampliar o campo de suas aplicações.

Em 1690 Jakob resolveu a equação diferencial:

(essas EDOs super específicas apareciam em problemas da física que os irmãos atacavam)

No mesmo artigo em que resolveu essa EDO acima, Jakob usou pela primeira vez a palavra ‘integral’ no sentido moderno.

Em 1694, Johann resolveu a EDO:

(essa é uma EDO separável, então creio que ele tenha usado o método que Leibniz criou em 1691)

Em 1696 Johann resolveu o famoso problema da braquistócrona, que envolvia as equações diferenciais. Ele também desafiou os outros pesquisadores para fazerem o mesmo. Seu irmão, Newton, Leibniz e L’Hospital conseguiram. Newton publicou sua solução de forma anônima, mas quando Johann viu ela, ele disse “Ah, conheço o leão pela sua pata”.

Esse problema é inclusive um exercício proposto do livro do Boyce.

Daniel Bernoulli (1700 – 1782)

Daniel Bernoulli foi filho do Johann Bernoulli. Segundo o Boyce, seus interesses eram, principalmente, em equações diferenciais parciais e suas aplicações.

Leonhard Euler (1707 – 1783)

Euler foi o principal matemático do século 18, e contribuiu muito para o estudo das equações diferenciais.

Em 1734-1735, ele identificou a condição para que as EDOs de primeira ordem sejam exatas e desenvolveu a teoria dos fatores integrantes criada por Leibniz.

Em 1746, encontrou a solução geral das EDOs lineares homogêneas com coeficientes constantes.

Em 1750-1751, ele estendeu esse último resultado para equações não homogêneas.

Em torno de 1750, ele usou, com frequência, séries de potências para resolver equações diferenciais.

Em 1768-1769, ele propôs um procedimento numérico para resolver equações diferenciais.

Além de tudo isso, ele também fez contribuições importantes em equações diferenciais parciais, fez avanços gigantescos nas aplicações físicas das EDOs e EDPs e deu o primeiro tratamento sistemático do cálculo de variações (eu nem sei o que é isso).

Acho que foi Euler quem também criou o conceito de campos de direções, mas o Boyce não fala nada sobre isso.

Aparentemente eu vou estudar algumas dessas contribuições para fazer a P2 de Cálculo 4.

Joseph-Louis Lagrange (1736 – 1813)

Entre 1762-1765, Lagrange mostrou que a solução geral de uma equação diferencial linear homogênea de ordem n é uma combinação linear de n soluções independentes (acho que também vou ver esse resultado para fazer a P2).

Em 1774-1775, Lagrange desenvolveu completamente o método de variação dos parâmetros.

Em 1788 Lagrange publicou um tratado elegante e completo sobre mecânica newtoniana (então obviamente haviam muitas EDOs nesse trabalho).

Ele também contribuiu bastante para o estudo das EDPs e cálculo de variações.

Pierre-Simon de Laplace (1749 – 1827)

Laplace tem muitas contribuições nas aplicações físicas das EDOs e EDPs.

A transformada de Laplace recebeu o nome em sua homenagem, embora sua utilidade na resolução de equações diferenciais só tenha sido reconhecida muito mais tarde.

Outras contribuições

Do século 18 pra cá houve muitos outros avanços na área, e o Boyce até comenta sobre eles, mas irei parar por aqui nesse post. Farei apenas uma menção de que no século 19 iniciou-se uma investigação de questões teóricas sobre existência e unicidade das soluções, tema que muito me interessa por ter um caráter um pouquinho mais parecido com a área que pesquisa a fundação da matemática.

Diário de estudos

Antes de finalizar, colocarei nesse post a minha P1 de Cálculo 4. Farei isso para registrá-la em algum lugar, já que provavelmente não escreverei mais sobre esse tema (não vejo a hora de nunca mais estudar essa matemática avançada e ficar só na fundação).

Para que esse post não seja apenas um resumo histórico, terminarei com uma das principais dúvidas que tive enquanto estudava para essa P1: por que o método da separação de variáveis funciona?

Parece roubo poder integrar um lado da equação em relação a y e o outro lado em relação a x. Se eu não soubesse que isso foi ideia do Leibniz, eu falaria que foi ideia de um engenheiro.

O pior é que nem meu professor nem o Boyce explicaram o porque desse método funcionar. Mas acho que tem a ver com a regra da cadeia.

Referências

Equações diferenciais e problemas de contorno (9ª edição)- Boyce e Diprima

Braquistócrona – Wikipédia