Resolução de 1 exercício de Geometria Plana

Este post é pra resolver o seguinte exercício de geometria plana da prova do IFES de 2023:

Há 2 anos eu venho dando aulas de geometria plana num cursinho popular, e sem dúvidas esse foi o exercício mais díficil que eu já passei pros meus alunos.

Eu até tentei fazer ele sozinho, mas travei quando tive que descobrir o comprimento do lado do triângulo equilátero da figura. Daí eu dei uma olhada em 2 vídeos que solucionavam o exercício, e este post é praticamente um resumo desses vídeos.

Os vídeos que vi são:

Vídeo 1

Vídeo 2

“Minha” solução

Resumidamente, o que precisamos fazer nesse exercício de geometria plana é apenas calcular a área da região escura e depois calcular o quanto de dinheiro é necessário para pintar essa área.

Para calcular a área da região escura que está no círculo maior, irei primeiro calcular a área do círculo e depois subtrair o resultado pela área do triângulo equilátero.

Calcular a área do círculo é bem fácil. O enunciado falou que seu raio tem comprimento $R$ , então usando a fórmula que eu deduzi nesse texto aqui (que exige que o leitor saiba cálculo!), temos que a área $A_{c_g}$ do círculo grande mede:

$A_{c_g} = \pi R^2$

(vou deixar para substituir as letras pelos números no final da resolução)

O próximo passo é calcular a área do triângulo equilátero, e para isso precisamos saber o comprimento do seu lado.

No vídeo 1, o professor usou a seguinte fórmula ~~que eu nunca vi na vida~~, onde $l_T$ é o comprimento do lado do triângulo equilátero:

(1) $\begin{equation*} R = \frac{l_T \sqrt{3}}{3} \end{equation*}$

Foi por não fazer ideia do porque essa fórmula é verdade que eu tive que assistir o vídeo 2 para conseguir fazer a questão.

No vídeo 2, o professor foi mais didático e desenhou o seguinte triângulo retângulo na figura:

Figura do exercício de geometria plana em que foi desenhado um triângulo retângulo verde.

A partir do desenho, pode-se usar o Teorema de Pitágoras para concluir que a medida do comprimento $l_T$ do lado do triângulo equilátero é:

$r^2 + \left( \frac{l_T}{2} \right)^2 = R^2 \imp \frac{l_T}{2} = \pm \sqrt{R^2 - r^2} \imp l_T = \pm 2 \sqrt{R^2 - r^2}$

(refaça as contas sozinho!)

Como uma medida do comprimento de um segmento não pode ser negativa, temos que:

$l_T = 2 \sqrt{R^2 - r^2}$

Agora que calculamos o lado do triângulo equilátero, se soubermos o comprimento $h_T$ da altura dele, conseguiremos descobrir sua área.

Para descobrir $h_t$ , basta observar que:

$h_T = r + R$

pois:

Figura do exercício com dois raios específicos destacados.

Esta foi uma sacada que alguns alunos meus tiveram para evitar que fizessem contas.

Agora temos tudo que precisamos para usar a fórmula da área de um triângulo. A área $A_T$ do triângulo equilátero será:

$A_T = \frac{l_T \cdot h_T}{2} \imp A_T = \frac{2 \sqrt{R^2 - r^2} \cdot (r + R)}{2} \imp A_T = \sqrt{R^2 - r^2}(R+r)$

Subtraindo a área do círculo grande pela área do triângulo equilátero temos que as áreas escuras maiores $A_1$ medem:

$A_1 = A_{c_g} - A_T \imp A_1 = \pi R^2 - \sqrt{R^2 - r^2}(R+r)$

Agora precisamos calcular as pequenas áreaszinhas escuras que estão no círculo menor mas não estão no hexágono regular. Para isso, vamos usar o mesmo princípio de subtrair uma área da outra.

Usando novamente a fórmula da área do círculo, temos que a área do círculo pequeno $A_{c_p}$ mede:

$A_{c_p} = \pi r^2$

E para calcular a área do hexágono vamos dividi-lo como uma pizza em 6 triângulinhos equiláteros, da seguinte forma:

Figura do exercício em que o hexágono foi separado em vários triângulos azuis.

Daí, cada lado $l_t$ dos triângulos mede $r$ . ~~(não me pergunte porque)~~

E, dividindo um desses triângulinhos equiláteros em dois triângulos retângulos dessa forma:

Figura do exercício em que um dos triângulos teve a sua altura desenhada de verde.

Notaremos que a altura $h_t$ dos triângulinhos equiláteros mede:

$h_{t}^{2} + \left( \frac{l_{t}}{2} \right)^{2} = l_{t}^{2} \imp h_{t}^{2} = l_{t}^{2} - \frac{l_{t}^{2}}{4} \imp h_t = \pm \sqrt{l_{t}^{2} - \frac{l_{t}^{2}}{4}}$

$\imp h_t = \pm \frac{\sqrt{3}l_t}{2} \imp h_t = \pm \frac{\sqrt{3}r}{2}$

Como a medida de um comprimento de um segmento não pode ser negativa, temos que:

$h_t = \frac{\sqrt{3}r}{2}$

Logo, a área $A_t$ de cada triângulinho equilátero mede:

$A_t = \frac{l_t \cdot h_t}{2} = \frac{r \cdot \frac{\sqrt{3}r}{2}}{2} \imp A_t = \frac{\sqrt{3}r^2}{4}$

O hexágono é feito de 6 triângulinhos equiláteros, logo, sua área $A_h$ será:

$A_h = 6 \cdot A_t = 6 \frac{\sqrt{3}r^2}{4} \imp A_h = \frac{3\sqrt{3}r^2}{2}$

Portanto, as áreazinhas $A_2$ das regiões escuras que estão na circuferência menor e não no hexágono medem:

$A_2 = A_{c_p} - A_h \imp A_2 = \pi r^2 - \frac{3\sqrt{3}r^2}{2}$

Logo, a areá $A_{final}$ da região escura que deverá ser pintada mede:

$A_{final} = A_1 + A_2 = \pi R^2 - \sqrt{R^2 - r^2}(R+r) + \pi r^2 - \frac{3\sqrt{3}r^2}{2}$

Cálculo númerico da área e do gasto

Agora que calculamos a área final, eu irei substituir as letras pelos dados informados no enunciado para finalmente poder dizer que esse exercício de geometria plana foi resolvido.

Eu demorei pra fazer isso porque, aparentemente, essa questão contém um erro. O raio da circuferência menor deveria ser $r = 20cm$ (e não $r = 10cm$ ) para não quebrar um teorema da geometria lá que eu não faço nem questão de entender agora.

O que me faz acreditar nisso é o seguinte comentário do vídeo 1:

Daí como eu não usei números em todas essas contas, não faz diferença o raio medir $r = 10cm$ ou $r = 20cm$ para elas estarem certas.

Como acho que o correto é $r=20cm$ , usarei esse dado nas contas.

Por fim, teremos que a área total $A_{final}$ a ser pintada mede aproximadamente:

$A_{final} = A_1 + A_2 = \pi R^2 - \sqrt{R^2 - r^2}(R+r) + \pi r^2 - \frac{3\sqrt{3}r^2}{2} \approx 4800cm^2 - 2078,5cm^2 + 1200cm^2 - 1020cm^2 = 2901,5cm^2 \imp A_{final} \approx 2901,5cm^2$

Agora que sabemos quanto mede aproximadamente a área de toda a região que vamos pintar e que uma lata de 80 reais cobre aproximadamente $100 cm^2$ de área, temos que o nosso gasto total será aproximadamente:

$\frac{G_t}{2901,5cm^2} = \frac{80 \, \text{reais}}{100cm^2} \imp G_t \approx 2320,8 \, \text{reais}$

E… essa resposta não está nas alternativas e é diferente de ambas as respostas dos vídeos (que também são diferentes entre si kk).

Acho que o motivo de toda essa discordância é que substituimos as respostas pelas letras em tempos diferentes, o que fez dar tempo desse raio errado contaminar as respostas. Por exemplo, o vídeo 1 não usa o raio da circuferência pequena $r$ para calcular o lado $l_T$ do triângulo equilátero grandão, já o vídeo 2 usa.

Ou até mesmo pode ter sido aproximar os números irracionais em tempos diferentes também. Infelizmente a matemática é muito estranha ;-;

Se você sabe o motivo do meu resultado não ter batido com os dos vídeos, deixe nos comentários!

Dúvidas que tive enquanto escrevia esse post

Este é um exercício relativamente simples de geometria plana. Foi possível resolvê-lo sabendo apenas cálcular áreas e o usar teoremas como o Teorema de Pitágoras. Mas ele exige que você faça muitas contas e, principalmente, manje de polígonos inscritos e circunscritos em circunferências.

Minha primeira dificuldade nele foi como encontrar o lado de um triângulo inscrito numa circunferência em que eu sei apenas o tamanho do raio. A fórmula (1) resolve esse problema, mas eu não sei deduzi-la. Nesse problema em específico deu pra usar o raio da outra circuferência para não precisar usar a (1), mas isso não vai acontecer sempre.

Outras dificuldades que tive enquanto escrevia é: por que as construções que fizemos são válidas? Eu posso ter inferido alguma coisa errada a partir de figuras erradas. Várias das construções que fizemos usam resultados da geometria euclidiana que eu não sei provar, como por exemplo: o centro do triângulo equilátero ser o mesmo que o da circuferência inscrita e circunscrita nele, que a altura do triângulo equillátero passa pelo centro e pela apótema (que liga o seu centro ao ponto médio de um lado) dele, e que a apótema do triângulo equilátero é ortogonal ao seu lado.

Mas a pior coisa é não saber justificar porque os triângulos que compõem o héxagono são equiláteros.

E eu aposto que para demonstrar todos esses resultados, eu teria que estudar geometria pra caralho.

Já a dúvida que mais se repetiu entre os meus alunos é: por que quando eu subtraio a área de uma região pela área de outra região, o resultado é igual a área da região que está na primeira mas não na segunda?

Teve um aluno que chutou que teríamos que dividir a área do círculo pela do hexágono para calcularmos a área da região escura. Confesso que eu achava isso super natural então nunca pensei sobre antes. Mas essa é uma ótima dúvida que eu infelizmente não possuo nenhuma resposta. Tenho dó dos meus alunos terem que saber tanta matemática só para poderem estudar no IFES :/