Dúvidas de lógica para o meu eu do futuro

Graças a uma greve na minha universidade, atualmente estou no fim das minhas férias de julho. Nela, eu passei uns bons dias lendo os capítulos 12 e 13 do Mortari, um livro famoso de lógica.

Faz uns 5-6 meses que estou lendo este livro, e o indico para qualquer pessoa que queira estudar lógica.

Maas… apesar do livro ser ótimo, ler ele ainda me deixa com mais dúvidas que respostas. Por isso resolvi fazer esse post, onde vou enunciar 5 dúvidas que o André das próximas férias deve tentar responder quando voltar a ler esse livro e a estudar lógica.

(assim como o Mortari, chamarei a lógica de primeira ordem de CQC e a lógica proposicional de CPC)

Por que a semântica formal é feita com teoria de conjuntos?

A primeira dúvida é: porque a semântica para uma linguagem de primeira ordem é feita utilizando-se ferramentas da teoria de conjuntos?

Tentando responder essa dúvida, eu conclui que a semântica para uma linguagem de primeira ordem deve ser uma teoria escrita em uma outra linguagem. Então talvez a teoria de conjuntos seja essa metalinguagem em que conseguimos expressar teoremas sobre os significados dos símbolos de uma linguagem de primeira ordem. O problema é que a teoria de conjuntos é uma teoria, e não uma linguagem (eu acho).

De qualquer forma, o parágrafo acima é muito confuso, o que só mostra que eu de fato não entendo porque semântica formal e teoria de conjuntos estão relacionados.

Por que a lógica clássica possui princípios?

O Mortari disse que a lógica clássica possui princípios, como por exemplo o princípio do terceiro excluído. Mas eu não sei o que é um princípio lógico (na minha cabeça, a lógica deveria justificar princípios, e não possuir eles).

Acho que isso tem a ver com a dúvida passada, pois chuto que esses princípios sejam teoremas da semântica para as linguagens do CPC e CQC.

Qual a interpretação dos símbolos lógicos?

Se você também já teve essa dúvida, sabe que em qualquer esquina dizem: ‘símbolos lógicos possuem significado fixo’. O problema é que eu não entendo essa frase, e vou explicar o porquê.

Peguemos como exemplo o símbolo lógico . Como a expressão ‘‘ não é uma sentença bem formada das linguagens do CPC ou CQC, as semânticas dessas linguagens não podem atribuir significado a esse símbolo. Isto é, ele não possui significado nenhum.

O que fazemos é atribuir significado a sentenças moleculares que possuem símbolos lógicos como esse, mas isso é bem diferente. É por isso que não entendo qual seria o significado fixo dos símbolos lógicos.

Se sistemas formais são sistemas axiomáticos expressos em uma linguagem artificial, onde estão os elementos primitivos nos sistemas formais?

Agora falarei de uma dúvida que me ocorreu enquanto lia o capítulo 13 do livro do Mortari, que é um capítulo sobre sistemas formais.

Neste capítulo, o Mortari disse que a diferença entre sistemas axiomáticos e sistemas formais está no uso das linguagens artificiais.

Ele definiu sistemas axiomáticos como sendo algo composto de axiomas, elementos primitivos e uma relação de consequência, e disse que um sistema formal é um sistema axiomático expresso em uma linguagem artificial. Mas então, quem são os elementos primitivos num sistema formal?

Minha intuição diz que os elementos primitivos e o alfabeto de uma linguagem estão relacionados.

O que os matemáticos usam da lógica?

Talvez esta última dúvida seja a mais vaga de todas.

Creio que os matemáticos usam só a lógica que lhes é útil, igual a física faz com a matemática. Digo isso pois as provas matemáticas são escritas em linguagem natural e nunca me foi especificado as inferências que posso fazer ou não.

Uma informação legal e que cabe de ser dita aqui é: o Mortari disse que as sentenças matemáticas são interessantes porque expressam uma e somente uma proposição. E que se aceitarmos isso como verdade, então podemos aceitar que as sentenças da linguagem do CQC também podem ter essa propriedade, e isso nos evita de ter que fazer uma teoria das proposições antes de fazer lógica. Mas para isso perdemos a possibilidade de formalizar o tempo.

Nem só de dúvidas vive o homem

Agora falarei do que aprendi estudando lógica nessas ferias.

O CQC é indecidível

No fim do capitulo 12, o Mortari diz que o CQC é indecidível. Esta proposição foi provada em 1936 por Alonzo Church (e eu não faço ideia de como).

Isto significa que não existe nenhum teste para saber se uma sentença da linguagem do CQC é verdadeira ou não que sempre te dê uma resposta. Em outras palavras, nenhum procedimento de prova do CQC será um algoritmo, pois eles podem nunca acabar dependendo do input.

Ainda não sei o que fazer com essa informação, mas ela é bem interessante.

O CPC, por outro lado, é decidivel.

Princípio de resolução de problemas

Por fim, vou falar de um princípio que aprendi enquanto eu fazia o seguinte exercício de tablôs semânticos do capítulo 12:

Ao terminar o tablô desse argumento, percebi que minha resposta parecia certa, mas estava muito complicada. Quando olhei no gabarito feito pelo próprio Mortari que está em seu site, vi que de fato minha resposta estava certa, mas diferente da dele, que era mais simples. Veja as duas soluções:

Comparando-as, percebi que a dele estava mais simples pois ele “abriu” a sentença mais complicada primeiro. Já eu adiei o problema. Então lembrei que já havia lido algo sobre essa situação no comecinho do livro de Combinatória do Morgado, veja:

O Morgado concluiu o mesmo que eu fazendo um exercício de Análise Combinatória, e não de Lógica! Estou feliz por sentir algo que o Morgado também sentiu.

Comentários finais

Eu consigo pensar em muito mais dúvidas, mas acho que isso já é material o suficiente para o Futuro André começar a trabalhar (o rascunho desse post chegou a ter 12 dúvidas kkkkk). As outras dúvidas vão acabar aparecendo eventualmente.

Mas infelizmente algumas dessas dúvidas o Mortari nem se propõe a responder em seu livro. Terei que procurar outras fontes depois de acabar seu livro. Espero que ele responda pelo menos algumas.