Dedução da integral da função exponencial

Recentemente, descobri que o Google mostrou meu blog para 40 pessoas que pesquisaram “integral de exponencial” no último mês, segundo o Search Console.

Como nunca falei sobre isso aqui, decidi fazer um post deduzindo a integral da exponencial para que o Google tenha algo útil para mostrar a essas pessoas.

Para escrever o post, eu comecei tentando deduzir a integral da função exponencial sozinho por uns 40 minutos, mas desisti e fui pesquisar a resposta na internet. Aí encontrei esta resposta aqui:

NÃO CLIQUE SE QUISER TENTAR DEDUZIR SOZINHO PRIMEIRO!

$Na imagem está escrito: "The derivative of a^x is a^x times \ln(a). It follows that the antiderivative is \frac{a^x}{\ln(a).$

print do site: calculus – Integral of $a^x$ – Mathematics Stack Exchange

Nesse post eu destrincharei a resposta que encontrei.

(para minha sorte, depois de ver a resposta, ficou super simples refazer essa dedução “sozinho”. Então escrever este post não deu quase nenhum trabalho)

Pela resposta do cara, tudo que precisaremos saber previamente para deduzir a integral da exponencial é qual é a sua derivada. Então começaremos deduzindo isso.

Dedução da derivada de $a^x$

Eu já fiz um post com 3 deduções diferentes da derivada de $a^x$ , mas você não precisa lê-lo, pois vou repetir uma das deduções aqui neste post (e de forma melhorada). Mas, caso você se interesse, pode acessá-lo clicando aqui:

3 deduções da derivada da função exponencial

Recomendo a leitura se você se interessar em saber como é meu processo de aprendizagem, mas não se você quiser apenas ver as contas da dedução.

Segue a dedução de $\frac{da^x}{dx}$ :

$a^x = e^{\ln(a^x)} \imp \frac{da^x}{dx} = \frac{de^{\ln(a^x)}}{dx} = \frac{de^{\ln(a^x)}}{d(\ln(a^x))} \cdot \frac{d\ln(a^x)}{dx} = e^{\ln(a^x)} \cdot \frac{dx \cdot \ln(a)}{dx} = a^x \cdot \ln(a)$

$\imp \frac{da^x}{dx} = a^x \cdot \ln(a) \blacksquare$

Agora que deduzimos $\frac{da^x}{dx}$ , veremos que a integral da função exponencial realmente se segue dessa informação.

Dedução da integral de $a^x$

Segue a dedução da integral de uma função exponencial:

$\int a^x dx = \int a^x \cdot 1 dx = \int a^x \cdot \frac{\ln (a)}{\ln(a)} dx = \frac{1}{\ln(a)} \int a^x \ln(a) dx = \frac{1}{\ln(a)} \cdot a^x + C =$

$\frac{a^x}{\ln(a)} + C \imp$

$\int a^x dx = \frac{a^x}{\ln(a)} + C \blacksquare$

E aí está a dedução prometida da integral de uma função exponencial com uma base qualquer!

Significado da derivada de $e^x$

No post “3 deduções da derivada da função exponencial” – Quarto 707, eu disse que não sabia como interpretar o resultado da derivada da exponencial. Porém, ao ler o texto “Derivadas e integrais de funções exponenciais” – Neurochispas, tive um insight que quero comentar aqui (mas que se aplica apenas quando $a = e$ ).

Quando a base da função exponencial é $e$ , isto é $a = e$ , podemos ver na dedução que fizemos que a derivada de $e^x$ é a própria $e^x$ . Isto significa que a taxa de variação de $e^x$ em um instante qualquer é igual ao valor da função nesse mesmo instante. Por exemplo, se no instante $n$ o valor da função é $f(n) = e^n = 500$ , então ela também vai variar em $500$ neste instante, isto é, $f(n + dx) = 1000$ .

Não sei se isso ta correto, mas é um bom começo pra quando eu for tentar entender de verdade o que é a função exponencial. ~~só espero que seja ainda nessa vida ;-;~~

Para você que chegou até aqui, muito obrigado pela sua atenção! Espero que tenha gostado ^^

Caso queira ver mais posts sobre cálculo, acesse:

3 deduções da derivada da função exponencial – Quarto 707

Dedução da derivada da função logaritmo – Quarto 707

Dedução da integral da função logaritmo – Quarto 707

Referências

Cálculo (7ª edição) – James Stewart

Dedução da integral da função exponencial

Dedução da derivada de

Dedução da integral de

Significado da derivada de

Referências

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Dedução da derivada de $a^x$

Dedução da integral de $a^x$

Significado da derivada de $e^x$