Como calcular uma raiz quadrada não exata

Há um tempo atrás, eu assisti um shorts no youtube que te ensina a calcular uma aproximação para qualquer raiz quadrada não exata. Veja-o:

Meu objetivo nesse post é deduzir a fórmula dada no shorts.

Infelizmente usarei conceitos de Cálculo 1 na dedução que farei. Então você não entenderá a dedução se não estudou cálculo ainda :/

Mesmo nesse caso, sugiro que siga lendo até as coisas ficarem confusas. Na pior das hipóteses pule pro exemplo, que é apenas eu usando a fórmula do vídeo.

Tabela de conteúdos

Pré-requisitos da geometria analítica
Pré-requisitos do cálculo
Dedução
Exemplo
Diário de estudos
Referências

Pré-requisitos da geometria analítica

A dedução que vamos fazer é na verdade a aproximação linear da função $f(x) = \sqrt{x}$ . Não se assuste com o nome pois a ideia é bem simples, como você verá a seguir.

Primeiramente, sabemos que o gráfico da função $f(x) = \sqrt{x}$ é:

Calcular a raiz quadrada de um número $a$ é o mesmo que encontrar a ordenada do ponto $(a, f(a))$ , que pertence ao gráfico de $f$ :

Gráfico da função f(x) = \sqrt{x}, com o ponto (9, 3) destacado. — *nesse caso, a = 9*

Portanto, saberemos calcular a raiz quadrada de qualquer número real se conseguirmos calcular a ordenada de qualquer ponto no gráfico de $f$ .

Agora que transferimos nosso problema para a geometria analítica, usaremos o cálculo.

Pré-requisitos do cálculo

Com as técnicas do cálculo, conseguimos obter uma fórmula que nos dá os coeficientes angulares de todas as retas tangentes à função $f(x) = \sqrt{x}$ , isso é justamente o que chamamos de derivada de $f$ .

Se soubermos as coordenadas dos pontos de tangência (que pertencem tanto à reta quanto a função), poderemos unir essa informação com os coeficientes angulares e descobrir as equações de todas as retas tangentes a $f$ .

Gráfico da função f(x) = \sqrt{x} e da reta tangente ao ponto (25, 5), para preparar o terreno de como vamos calcular uma raiz quadrada não exata. — *com o cálculo, é possível descobrir a equação dessa reta preta*

O problema é que num ponto em que a abscissa não é um quadrado perfeito, teríamos que calcular uma raiz quadrada não exata para descobrir sua ordenada. E como a derivada da nossa $f$ é $f'(x) = \frac{1}{2\sqrt{x}}$ , teríamos que calcular a mesma raiz quadrada não exata para descobrir o coeficiente angular da reta tangente ao ponto.

Mas caso a abscissa do ponto seja um quadrado perfeito, conseguimos descobrir a equação da reta tangente a esse ponto sem ter que calcular nenhuma raiz quadrada não exata.

Dito isso, a pergunta natural que surge é: “isso nos ajuda em algo?” E a resposta é sim.

Perto do ponto de tangência, as retas tangentes se parecem bastante com a função. Então ao invés de calcular diretamente a ordenada do ponto $(x, f(x))$ , podemos usar a equação da reta tangente a um “ponto quadrado perfeito” próximo de $x$ e então calcular a ordenada do ponto que tem a mesma abscissa mas que se encontra na reta tangente.

Por exemplo, ao invés de calcular a ordenada do ponto $(26, \sqrt{26})$ , podemos calcular a reta tangente ao ponto $(25, 5)$ e então calcular a imagem de $26$ na reta tangente, e não no gráfico da função.

Gráfico da função f(x) = \sqrt{x} e da reta tangente ao ponto (9, 3), junto com dois pontos destacados para ilustrar a aproximação de uma raiz quadrada não exata. — *usei a reta tangente ao ponto (9, 3) pois se eu usasse a reta tangente ao ponto (25, 5), a aproximação seria tão boa que nem daria pra diferenciar os pontos na imagem*

Então saber calcular a reta tangente a pontos específicos nos dá uma forma de calcular aproximações de todas as ordenadas dos pontos de $f$ , sendo que quanto mais próximo o ponto específico tiver do ponto que queremos calcular a ordenada, melhor a aproximação.

Você verá que a dedução que farei a seguir consiste em calcular a imagem de todo número real na reta tangente que sabemos calcular mais próxima. É exatamente isso que chamamos de aproximação pela reta tangente de $f$ em um ponto (ou aproximação linear de $f$ em um ponto).

A partir daqui farei contas com esses conceitos, então o post ficará ainda mais difícil para aqueles sem conhecimentos de cálculo.

Dedução

Seja $f: \mathbb{R}^+ \to \mathbb{R}$ tal que $f(x) = \sqrt{x}$ e seja $a \in \mathbb{R}^+$ o número que queremos calcular a raiz quadrada.

Seja $QP \in \mathbb{R}^+$ o quadrado perfeito mais próximo de $a$ . Como a derivada de $f$ é $f'(x) = \frac{1}{2\sqrt{x}}$ , temos que a reta tangente ao ponto $(QP, \sqrt{QP})$ tem a seguinte equação:

$y - \sqrt{QP}= \frac{1}{2\sqrt{QP}}(x - QP)$

Chamamos essa equação de linearização de $f(x) = \sqrt{x}$ em $QP$ .

Por tudo o que foi dito, se calcularmos a imagem de $a$ nessa reta, teremos uma aproximação de $\sqrt{a}$ . Logo:

$\sqrt{a} - \sqrt{QP} \approx \frac{1}{2\sqrt{QP}}(a - QP)$

Isolando $\sqrt{a}$ nessa “equação” obteremos:

$\sqrt{a} \approx \frac{a + QP}{2 \sqrt{QP}} \blacksquare$

Essa é a aproximação linear de $f(x) = \sqrt{x}$ em $QP$ . E também é a fórmula do shorts que queriamos deduzir!

Exemplo

Agora que deduzimos a fórmula, para calcular a aproximação de uma raiz quadrada não exata, basta literalmente só usá-la xD

Não há nenhum segredo nisso, o que farei é quase o mesmo que o professor do vídeo fez, com a diferença de que calcularei uma aproximação para $\sqrt{26}$ e não $\sqrt{23}$ .

Como o quadrado perfeito mais próximo de $26$ é $25$ , temos que:

$\sqrt{26} \approx \frac{26 + 25}{2 \cdot \sqrt{25}} = \frac{51}{10} = 5,1$

A resposta “exata” de $\sqrt{26}$ é: $5,0990195135927848300282241090228...$

Diário de estudos

Generalização dessas ideias

O motivo de eu ter escrito esse post é que atualmente estou fazendo Cálculo 3, e uma das coisas que tive que estudar foi aproximações lineares de funções de duas variáveis. A ideia é a mesma, só que ao invés de retas tangentes e curvas, trabalhamos com planos tangentes e superfícies.

Mas, apesar da ideia ser a mesma, aumentar uma variável faz tudo ficar muito mais confuso, e é por isso que optei por escrever sobre funções de uma variável. Eu mesmo sinto que não venho aprendendo quase nada em Cálculo 3 justamente por causa da complexidade do curso (assim como em todos os outros ;-;)

Dúvidas sobre o tema

Para finalizar, quero comentar sobre duas dúvidas que tive enquanto escrevia esse post. Uma delas eu já tenho a resposta (mas é muito interessante) e a outra não.

A que eu tenho a resposta é: por que as aproximações que obtemos são sempre maiores que o valor real?

Caso não tenha notado isso, sugiro fazer alguns exemplos para se convencer de que isso é verdade.

Caso queira entender porque isso acontece, a resposta é que as retas tangentes sempre estão acima do gráfico da função raiz quadrada. Mas não acho que isso seja verdade para aproximações lineares de qualquer função.

A dúvida que eu não tenho resposta é: uma equação possui infinitos lugares geometricos?

Pergunto isso pois, se estivermos no $\mathbb{R}^3$ , o lugar geométrico de $y = \sqrt{x}$ não é o que vimos aqui. Na verdade, ele seria o conjunto dos pontos da forma $(x, \sqrt{x}, z)$ , onde $z$ pode ser qualquer número real. Isso dá a seguinte superfície: