Cálculo numérico da gravidade na Terra

Com a teoria criada por Isaac Newton, é possível calcular numericamente o valor da aceleração da gravidade na Terra de uma forma puramente teórica, onde vamos apenas ter que fazer algumas contas. Meu objetivo nesse texto é fazer exatamente isso.

Veja o sumário para ter uma noção de como faremos isso:

Introdução

A aceleração da gravidade é a grandeza que mede a variação (instantânea) da velocidade dos corpos que são abandonados em queda livre de uma certa altura acima da superfície de um planeta¹. Se o planeta for a Terra, a gravidade é a aceleração com que corpos caem em queda livre na Terra.

Um erro comum que nossa intuição pode cometer é concluir que corpos pesados chegam ao chão primeiro que os corpos mais leves. Na realidade, a aceleração da queda de um corpo qualquer é constante, independentemente da massa do corpo ou de a quanto tempo o corpo está caindo.

Este fato foi verificado experimentalmente por Galileu Galilei. Se quiser saber como, recomendo que assista esse vídeo:

Antes de começarmos as contas, vejamos um pouco de história da astronomia para entendermos como Newton deduziu o princípio que nos possibilitará fazer essas contas.

(Se estiver se perguntando o que astronomia tem a ver com a aceleração de um corpo em queda livre, saiba que o problema da queda de corpos na superfície da Terra está bem interligado com o problema do movimento dos corpos celestes, e Newton percebeu isso)

Um pouquinho de história da astronomia

Antes de Newton

Desde os tempos mais remotos, as pessoas já olhavam para o céu e observavam os astros. O problema é que há inúmeras coisas que dificultam a interpretação das observações astronômicas. Uma dessas coisas é o fato de os outros corpos celestes estarem muito distantes da Terra, tornando possível estimar apenas a direção em que são observados, e não é possível estimar a distância que eles estão de nós² (em um primeiro momento, só sabemos que essa distância é enorme).

Outra coisa é que a Terra está em constante rotação, então os movimentos aparentes dos corpos celestes vistos da Terra são afetados por essa rotação.

Apesar das dificuldades, como fruto dessas observações, os humanos deduziram rapidamente que os outros corpos celestes estão se movendo e começaram a notar padrões nesses movimentos. Os principais corpos celestes observados desde a antiguidade foram os cinco planetas visíveis a olho nu: Mercúrio, Vênus, Marte, Júpiter e Saturno.

O meu amado Aristóteles (384-322 a.C.) acreditava que a Terra estava parada no centro do universo e que os planetas estavam girando em volta dela. Creio eu que a maioria dos modelos astronômicos da época que tentavam explicar – e consequentemente prever – os movimentos dos corpos celestes assumiam como corretas as premissas de Aristóteles. Infelizmente, meu estagirita favorito estava errado dessa vez :c

A partir de Copérnico (1473-1543), percebeu-se que é possível explicar o movimento dos planetas de forma satisfatória, mesmo que o sistema de coordenadas do universo tenha o Sol como origem, e não a Terra. Mais tarde, o modelo de Copérnico foi reestruturado, expandido e aprimorado por Kepler (1571-1630)³.

Baseando-se em dados experimentais de altíssima qualidade para a época, Kepler descobriu que as órbitas (que são caminhos ou trajetórias que um corpo celeste percorre em torno de outro) dos planetas não eram círculos com o Sol no centro, mas sim elipses, onde o Sol ocupava um dos focos.

Essa descoberta é conhecida como a 1ª lei de Kepler, e ele ainda descobriu mais duas leis que explicavam os movimentos dos corpos celestes com base na observação.

As descobertas de Newton

Newton (1642-1727) usou as leis de Kepler e as suas próprias 3 leis do movimento (aquelas que você conhece bem do ensino médio) e deduziu que tipo de força devia ser necessária para manter os planetas em suas órbitas.

Mas isso só se eu entendi direito as contas que o Moysés⁴ fez nessas páginas:

Eu até tentei refazer essas contas e ir explicando passo a passo aqui no blog, mas falhei miseravelmente, então não confie completamente em mim e consulte as fontes!

Lei da gravitação universal: o princípio que nos permitirá fazer o cálculo da aceleração da gravidade na terra

Essas contas que Newton fez levaram-no a concluir que há uma outra lei importante para a explicação do movimento de corpos quaisquer. Esta é a lei que nos permitirá calcular (numericamente e analíticamente) a aceleração da gravidade na Terra. Newton a chamou de Lei da gravitação universal, e seu enunciado é:

Cada partícula no universo atrai qualquer outra partícula com uma força diretamente proporcional ao produto das massas gravitacionais das partículas e inversamente proporcional ao quadrado da distância entre as partículas⁵.

Em termos matemáticos (como as contas nas fotos acima nos mostra):

onde é o módulo da força gravitacional sobre a partícula 1 (ou 2), é um número real, é a massa da partícula 1, é a massa da partícula 2 e é a distância que separa as duas partículas.

(Newton provavelmente nunca escreveu a lei na sua forma matemática, como mostra essa pergunta: newtonian gravity – Did Newton estimate the gravitational constant ? (Physics Stack Exchange))

Como Newton unificou a mecânica terrestre e a celeste

Talvez você não tenha se atentado a uma coisa: as leis de Kepler explicam apenas o movimento de corpos celestes, enquanto a Lei da gravitação universal e as outras 3 leis de Newton servem para explicar o movimento de qualquer corpo, seja ele celeste ou não.

Isso quebrou paradigmas na época que Newton viveu, pois a mecânica terrestre e a mecânica dos corpos celestes eram áreas diferentes. De forma resumida, a mecânica celeste é a área que estuda o movimento dos corpos celestes e que, após Kepler, era regida por suas leis (e possivelmente outras leis) sobre as quais eu comentei um pouco sobre no contexto histórico. Enquanto a mecânica terrestre é a área que estuda o movimento de corpos na superfície da Terra.

O bacana é que a lei da gravitação universal unifica essas duas mecânicas. Newton descobriu que a força que mantém os planetas em órbita é a mesma força que faz uma maçã cair de uma macieira: a força gravitacional, que é caracterizada (ou definida) pela Lei da gravitação universal.

Mas é claro que uma afirmação desse porte precisa de ser provada. E uma das provas vem em forma de contas que não entendi, mas que também estão no livro do Moyses:

Creio eu que antes de Newton, a mecânica terrestre devia ser regida por leis completamente diferentes das leis de Kepler, leis essas sugeridas por Aristóteles. No entanto, depois de Newton, essas duas áreas se unificaram e se tornaram a nossa conhecida mecânica, que explica os movimentos de corpos quaisquer.

A lei aplicada a corpos e não partículas

Voltando a Lei da gravitação universal, note que da forma que foi enunciada, essa lei só atribui propriedades a partículas. Mas nós vivemos no mundo macroscópico dos corpos, então como aplicá-la para calcular a aceleração da gravidade de corpos?

E a resposta é: Um corpo nada mais é do que várias partículas juntas, então para saber com que força um corpo atrai uma partícula, basta calcular quanto cada partícula pertencente àquele corpo atrai a outra partícula separadamente, e depois somar essas atrações. Isso é outro princípio/lei da física, chamado de princípio da superposição de forças.

O único problema é que isso conduz a uma soma infinita, porque vivemos em um mundo contínuo onde corpos são formados por infinitas partículas. Então você precisa estar familiarizado com o cálculo para aplicar essa lei a corpos. xD

A rigor, as outras 3 leis de Newton também devem ser enunciadas de uma forma que elas atribuem propriedades apenas a partículas, e aí usaríamos o cálculo para usá-las em corpos, mas não é feito assim no ensino médio por motivos óbvios.

Um resultado importantíssimo sobre a atração gravitacional de corpos

Como minha base em cálculo é fraca, não vou provar o seguinte teorema importantíssimo que iremos usar daqui a pouco:

Aliás, uma das coisas que fez Newton atrasar a publicação do Principia mais de uma década foi provar esse teorema⁶. Para quem não sabe, Newton começou a estudar/criar a gravitação numa pandemia que houve na Inglaterra em 1665, mas só publicou o Principia em 1687. No entanto, o atraso também pode ter sido por causa de sua natureza mais tímida, que fez com que ele não tivesse vontade em publicar suas descobertas.

De qualquer forma, o que é importante para nós é que a Terra é aproximadamente uma esfera, e o centro de gravidade de uma esfera está localizado no seu centro geométrico. Então, como corolário do teorema acima, a interação gravitacional (medida da força de atração) entre uma partícula e um corpo esférico é igual à interação gravitacional entre a partícula e outra partícula localizada no centro do corpo esférico que possui a massa do corpo.

Ou seja, se considerarmos você como uma partícula e a Terra como uma esfera, e quisermos saber a medida da atração que a Terra faz sobre você, podemos esquecer de todas as partículas da Terra e fingir que ela possui apenas uma partícula, localizada no seu centro, e que possui a massa de todas as partículas da Terra somadas.

(Isso me buga um pouco porque aparentemente as partículas do espaço newtoniano podem ter a massa que você quiser, e na minha cabeça, partículas possuem volume nulo, então a densidade dessas partículas massudas deveria ser infinita. Com o tempo espero esclarecer essa dúvida)

O importante é que as aproximações que fizemos não são absurdas. A Terra é de fato quase uma esfera, e você é uma partícula quando comparado a ela. Portanto, esse teorema vai facilitar MUITO as nossas contas, pois nos livra de calcular um monte de integrais chatas.

Eu acho que provar isso é como calcular essas integrais previamente para não precisarmos calcular novamente.

Foça peso como caso particular da Lei da gravitação universal

Finalmente estamos prontos para fazer o cálculo da gravidade na Terra analiticamente, então vamos lá!

(Nova) definição de força peso

Uma partícula em queda livre na superfície da Terra sofre a ação de várias forças, mas a única que não é desprezível é a chamada força peso. Normalmente entendemos a força peso como a força de gravitação que a Terra exerce sobre uma partícula (essa força existe pela Lei da gravitação universal).

Agora que conhecemos melhor essa Lei da gravitação universal, podemos estender essa definição para uma mais precisa:

O peso de um corpo é a força gravitacional resultante exercida por todos os corpos do universo sobre o corpo⁷.

Força peso na superfície da Terra

Como a maioria dos corpos na superfície da Terra são bem magrinhos comparados à Terra, e os corpos massudos estão bem longe de nós, podemos desprezar a força gravitacional de todos eles e calcular apenas a força gravitacional da Terra sobre o corpo. Bora fazer isso e ver o que obtemos:

Pela Lei da gravitação universal, a força que a terra exerce sobre uma partícula em sua superfície é:

onde é a força peso sofrida pela partícula, é a massa gravitacional da terra, é a massa gravitacional da partícula e é o raio da terra, pois lembre-se que a atração que a terra faz sobre você é igual a atração que uma partícula no centro da terra, que possui a massa da terra, faz sobre você. Isso graças aquele teorema.

Queda livre

Sabendo disso, se a única força exercida sobre o corpo é a força gravitacional (ou seja, se ele estiver em queda livre), então pela 2ª lei de Newton essa força é igual a massa inercial da partícula multiplicada pela sua aceleração:

onde é a aceleração da gravidade que queremos calcular.

Daí, igualando as equações temos:

Note que é a massa gravitacional da terra e é constante (por razões que eu desconheço) é a massa gravitacional da partícula e também é constante, e é a massa inercial da mesma partícula.

A diferença entre massa gravitacional e massa inercial é que a massa inercial mede o quanto a partícula resiste à mudança de velocidade, e a massa gravitacional mede o quanto essa partícula atrai e é atraída por outras partículas.

No entanto, os experimentos de Galileu mostram que essas duas massas tem que ter o mesmo valor, pois se fosse diferente, dois corpos com diferentes massas jogados a partir do repouso com a mesma força de uma certa altura deveriam chegar ao solo em instantes diferentes. Ou seja, corpos diferentes teriam diferentes acelerações da gravidade. Mas não é assim que funciona.

Se duvida de mim, faça o experimento. Jogue duas coisas para cima e verifique que elas vão chegar ao chão ao mesmo tempo e que, portanto, a aceleração da gravidade é a mesma para qualquer corpo.

Logo, podemos cortar a massa inercial com a massa gravitacional e concluir que a aceleração causada pela gravidade de uma partícula em queda livre é:

(1)  

E aí está o resultado do cálculo da gravidade na Terra. 😀

Você pode achar estranho nós estarmos “ajeitando” a teoria para que ela diga o que queremos, mas esse fato da massa inercial ter a mesma medida que a massa gravitacional é um tópico estranho mesmo. No entanto também é super interessante e importante, então, se quiser se aprofundar nessa discussão, leia:

Massa gravitacional ou inercial? (institutoprincipia.org)

Talvez eu tenha mentido para alguns de vocês

Alguns de vocês podem ter escolhido jogar algo como uma pena (ou uma folha de papel) para cima junto com uma bola (ou um caderno) e testemunhado que uma bola chega primeiro que uma pena no chão. Então a aceleração da gravidade muda em função do corpo em queda?

E a resposta é sim e não. Isso acontece porque na realidade, a força peso (na nossa nova definição) não é a única força atuando numa partícula em queda livre. Também há a resistência do ar, ou força de arrasto. Eu desprezei essa força anteriormente porque ela só é perceptível em objetos como uma pena (por motivos que ainda não sei quais são).

No entanto, foi feito um experimento por astronautas na lua, onde existe muito menos resistência do ar (porque a Lua é menos massiva que a Terra, então atrai menos gases para a sua superfície). Nesse experimento, eles jogaram uma pena e um martelo, e ambos os objetos chegaram ao solo lunar ao mesmo tempo:

Cálculo do valor numérico da gravidade na Terra

Depois dessa leve digressão sobre a força de arrasto, vejamos de novo o resultado que obtemos em (1), onde desconsideramos o arrasto. Podemos usar essa equação e calcular numericamente o valor da aceleração da gravidade de um corpo em queda livre na Terra (finalmente!!).

Sabendo que o raio da terra é

,

que a massa da terra é

e que

,

temos que:

E aí está o cálculo final da gravidade na Terra. Note que cheguei a esse valor sem realizar nenhum experimento, mas se o fizéssemos (tal como Galileu), obteríamos um valor igual ou próximo a esse.

(Eu suprimi as unidades das contas porque se não ia ficar um caos, e estava tudo no SI. Mas recomendo que refaça as contas sem suprimir para verificar que a unidade final realmente é )

Obviamente não é nada fácil obter esses dados usados, mas saiba que a humanidade já os possui a muito tempo. Eu sei que foi medido experimentalmente posteriormente a Newton por Cavendish e que o raio da terra foi medido por Erastóstenes com uma precisão muito boa.

Reflexões

Problemas lógicos

Pelo o que eu entendi, as 3 leis de Newton somadas a Lei da gravitação universal são como axiomas da mecânica. Isso quer dizer que todo problema sobre movimentos de corpos podem ser resolvidos a partir delas. Como consequência dessas leis, podemos inclusive deduzir as 3 leis de Kepler. Ou seja, as 3 leis de Kepler são como teoremas no sistema axiomático do Newton.

Mas então, como Newton usou as leis de Kepler para descobrir a Lei da gravitação universal? Ou melhor, o que exatamente aquelas contas feitas pelo Moysés aqui estão nos contando? Newton usou um teorema para deduzir um axioma? Será que isso é trabalhar retroativamente? Isso pode, Arnaldo?

(O pior é que enquanto escrevo esse texto, estou fazendo o curso de Física 2 e tenho quase certeza de que o professor fez e explicou essas contas na aula alguém por favor me da dinheiro pra eu estudar no meu ritmo ;-;)

Segundo a Wikipédia⁸, além das 3 leis + Princípio fundamental da dinâmica + Principio da superposição de forças, também são axiomas da mecânica:

• O espaço é absoluto, imutável, não sofrendo alteração em função da matéria;
• Da mesma forma que o espaço, o tempo também é absoluto, não sofrendo mudanças em função da matéria;
• A velocidade de um corpo pode crescer ilimitadamente.

Então quantos são os axiomas desse troço??

Problema físico

Pelo teorema lá que eu não provei, a força gravitacional no centro da terra deveria ser infinita (pois a distância entre a partícula e o centro geométrico da terra seria zero). Mas sabe-se que a força gravitacional no centro da terra é zero, então o que está errado?

De qualquer forma, sei que viverei com essas dúvidas que surgiram por um bom tempo, pois esse texto foi fruto de algumas poucas aulas de gravitação que tive no meu curso de Física 2. Isso não foi nem de longe o suficiente para uma compreensão satisfatória sobre o conteudo.

E infelizmente eu não re-estudarei isso a fundo tão cedo, pois tem muuuitos conteudos mais importantes pra minha vida agora. Talvez daqui uns 3 ou 4 anos (ou mais) eu revisite essa área, entenda de verdade o que escrevi e as respostas para essas dúvidas e atualize esse post.

Se gostou desse texto, leia também:

Diferença entre segmentos orientados e vetores (e mais!) – Quarto 707

Obrigado por ler :]

Referências:

¹ Aceleração da gravidade: o que é, fórmula, exercícios (Brasil Escola)

² Curso de Física Básica (Moysés) -> pag 231.

³ Heliocentrismo (Wikipédia)

⁴ Curso de Física Básica (Moysés) -> pag 245.

⁵ Física 2 (Young & Freedman) -> pag 1.

⁶ Curso de Física Básica (Moysés) -> pag 248.

⁷ Física 2 (Young & Freedman) -> pag 5.

⁸ Mecânica clássica (Wikipédia)